1. Flächenberechnungenmit Hilfe von Integralen
Merke:Du kannst immer die linke Seite der nach Null umgestellten Gleichung aus der Schnittpunktberechnung nehmen und einfach davon das Integral berechnen, wenn du die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen sollst. Dann musst du aber unbedingt den Betrag des Integrals bilden, ansonsten könnte ein negatives Ergebnis herauskommen, was natürlich nicht dem Flächeninhalt entspräche.
Zu 7b.)
Hier noch einmal die gegebenen Funktionen:
Berechnung der Integrationsgrenzen:
Berechnung des Flächeninhalts:
In diesem Fall ist es nicht so einfach, sich den Verlauf der Graphen vorzustellen. Daher verwenden wir hier einfach den Betrag des Integrals. Dann müssen wir uns keine Gedanken darüber machen, welche Funktion die Fläche oben begrenzt und welche unten.
Da die Gleichung, die wir bei der Berechnung der Grenzen gelöst haben, nicht nach 0 umgestellt wurde, können wir nicht einfach die eine Seite der Gleichung hinter das Integral schreiben. Dieser Trick funktioniert hier nicht.
Wir berechnen daher den Betrag des Integrals von der einen Funktion minus der anderen. Welche wir von welcher abziehen, ist wegen des Betrages egal. Wir entscheiden uns für das folgende Integral:
Die Fläche, die von den Graphen der Funktionen 
eingeschlossen wird, hat einen Flächeninhalt von 
FE.
In der nachfolgenden Abbildung kannst du die Fläche A sehen, deren Inhalt wir gerade berechnet haben. Da wir vorher nicht wussten, welche Funktion die Fläche oben begrenzt und welche unten, haben wir mit dem Betrag des Integrals gearbeitet.
Es ergab sich bei unserer Rechnung 
;wir erhielten also zuerst einen negativen Wert. Wenn sich beim Integral 
ein negativer Wert ergibt, muss der Graph 
der Funktion 
die Fläche A nach unten begrenzen. Das bestätigt auch die folgende Abbildung. Wir haben also von der unteren Funktion die obere abgezogen und davon das Integral berechnet. Wenn man von der Unteren die obere Funktion abzieht, ergibt sich beim Integral natürlich ein negativer Wert. Durch den Betrag wurde das Ergebnis dennoch letztendlich, wie gewünscht, positiv.
Abb.:Die Graphen 
und 
der Funktionen 
schließen die Fläche A ein.
Zu 7c.)
Hier noch einmal die gegebenen Funktionen:
Berechnung der Integrationsgrenzen:
Wenn du nicht weißt, wie man diese Gleichung lösen kann, siehe:Erläuterungen zum Lösen von Gleichungen dritten Grades
Wir müssen eine Lösung der Gleichung erraten und anschließend eine Polynomdivision durchführen.
Bevor wir hier aber beginnen eine Lösung der Gleichung durch Raten zu finden, multiplizieren wir noch mit dem Hauptnenner 5. Dadurch fallen nämlich alle Brüche weg bzw. wandeln sich in ganze Zahlen um, mit denen es sich dann wesentlich leichter weiterrechnen lässt. (Das Multiplizieren mit dem Hauptnenner der Brüche musst du nicht unbedingt machen, aber es erleichtert die weitere Rechnung.)
