1. Flächenberechnungenmit Hilfe von Integralen
Tipp:Bei Gleichungen zweiten und höheren Grades, die unangenehme Brüche enthalten, empfiehlt es sich vorweg mit dem Hauptnenner der Brüche zu multiplizieren!
So sieht die Gleichung schon etwas besser aus;es kommen wenigstens keine Brüche mehr vor. Nun ermitteln wir die erste Lösung der Gleichung durch Raten, wie bei
Erläuterungen zum Lösen von Gleichungen dritten Grades erklärt:
Erratene Lösung: 
Als nächstes folgt die Polynomdivision:
Das Ergebnis der Polynomdivision wird gleich Null gesetzt. So erhalten wir die folgende Gleichung:
Die beiden Graphen schneiden sich somit dreimal, nämlich aufsteigend geordnet an den folgenden drei Stellen:
Wir müssen daher einmal von 
bis 2 und ein weiteres Mal von 2 bis 
integrieren. Wir werden jeweils den Betrag des Integrals verwenden, dann müssen wir uns keine Gedanken machen, welche Funktion in dem jeweiligen Bereich oben liegt und welche unten. Hinter die beiden Integrale schreiben wir einfach die linke Seite der Gleichung, die wir bei der vorher durchgeführten Schnittpunktberechnung beim Umstellen nach Null ergeben hat, also die linke Seite der Gleichung 
. (Vorsicht:Nicht die mit 5 multiplizierte Gleichung verwenden, das wäre falsch!)
Wir müssen daher die folgenden Integrale berechnen, um die gesamte Fläche zu erhalten, die von den beiden Graphen 
und 
eingeschlossen werden:
Versuche doch gleich mal selbständig weiterzurechnen, ohne dir vorher den Rest der Lösung anzuschauen!
Hast du es inzwischen wirklich selbst zu Ende gerechnet? Wenn nicht, dann jetzt aber los!
Hoffentlich hast du nun ein eigenes Ergebnis vorliegen.
Zu deiner Kontrolle hier der Rest der Lösung:
Der Ausdruck innerhalb des ersten Betrages ist sowieso positiv, wir können diesen Betrag einfach weglassen. Der Ausdruck innerhalb des zweiten Betrages ergibt dagegen einen negativen Wert;das kannst du leicht selbst mit dem Taschenrechner überprüfen. Wir wollen allerdings nicht mit den gerundeten Werten weiterrechnen.
Um den Betrag bei 
aufzulösen, drehen wir alle Vorzeichen bei dem Ausdruck um, der innerhalb des Betrages steht. Dadurch ergibt sich dann der entsprechende positive Wert des Ausdrucks innerhalb des Betrages.
Wenn es dir komisch vorkommt, dass man einfach alle Vorzeichen bei 
umdrehen muss, um den Betrag aufzulösen, rechne mit dem Taschenrechner doch schnell folgendes nach:
Du siehst, dass beide Male das gleiche Ergebnis herauskommt.
Wir wollen ab jetzt, wie gesagt, nicht mit den gerundeten Werten weiterrechnen, sondern mit den exakten Werten.
