1. Flächenberechnungenmit Hilfe von Integralen
Merke:Die Zahl 0 ist generell eine sehr praktische untere Grenze, da sich beim Einsetzen der Zahl 0 meist 0 ergibt und dann nichts abgezogen werden muss. Aber Vorsicht, wenn bei einer Stammfunktion der Kosinus vorkommt! 
, also 
! 
darf man dann nicht einfach weglassen. Es ergibt sich also nicht immer 0, wenn man 0 einsetzt! Das hängt von der jeweiligen Stammfunktion ab.
Weil wir den Betrag des Integrals nehmen, müssen wir uns keine Gedanken darüber machen, welche Funktion die Fläche oben begrenzt und welche unten. Mit Betrag ist es völlig egal, ob man das Integral 
rechnet oder 
. Nur wenn man auf den Betrag verzichtet, muss man von der kleineren zur größeren Grenze integrieren und von der oberen Funktion die untere abziehen.
Damit du dir das Ganze besser vorstellen kannst, fertigen wir noch schnell zwei Skizzen, die jeweils den Graphen der Funktion 
(die nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel im Ursprung) und einen der Graphen der Schar 
zeigt. Laut Angabe gilt:a 
ℝ {0}
Wir dürfen für unsere Skizzen daher beliebige Werte ungleich Null für a wählen. Warum zwei Skizzen? Wir wollen einmal einen negativen Wert für a wählen und einmal einen positiven. Alle Graphen der Schar sind Geraden durch den Ursprung, da es sich um Funktionen der Form 
handelt mit dem y-Achsenabschnitt t = 0. Für positive Werte von a steigt die Gerade, für negative Werte von a fällt die Gerade.
Wir nehmen der Einfachheit wegen bei der ersten Skizze a = 1 und bei der zweiten Skizze a = -1. Dann ergeben sich nämlich die leicht zu zeichnenden Winkelhalbierenden 
und 
. (Das sind natürlich zwei Sonderfälle;du hättest statt a = 1 und a = -1 auch irgendwelche anderen positiven bzw. negativen Werte für a nehmen können.)
Beispiel für  :
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Beispiel für  :
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Nun aber endlich zur Berechnung der Fläche, die von den Graphen der Funktionen und eingeschlossen wird.
Flächenberechnung in Abhängigkeit von a:
Einsetzen der Grenzen ergibt:
Man erkennt am Ergebnis, dass der Betrag notwendig ist. Denn wegen der ungeraden Potenz von a würden sich für a <0 ohne Betrag bei 
negative Werte ergeben. Ein Flächeninhalt muss aber positiv sein, was der Betrag letztendlich sicherstellt.
Für den interessierten Schüler:
Mit Hilfe einer Fallunterscheidung kann das Ergebnis betragsfrei geschrieben werden. (Das musst du nicht unbedingt machen.)
Zu 8b.)
Gesucht ist derjenige Wert von a, für den die Fläche A = 36 ist. In Teilaufgabe 8a.) haben wir den Flächeninhalt in Abhängigkeit von a ermittelt: 
