Die Stammfunktion F(x) und einfache Integrationsregeln
Nullstellenberechnung von _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion.png)
:
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_308.png)
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_308.png)
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_309.png)
Die Funktion hat also bei _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_310.png)
eine doppelte Nullstelle und bei _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_310.png)
eine einfache Nullstelle.
Dir ist nicht klar, wie man darauf gekommen ist? Ausführliche Erklärung der Nullstellenberechnung im 6. Bsp.
Zur Erinnerung:Bei einer doppelten Nullstelle berührt die Funktion die x-Achse, schneidet sie also nicht. Eine doppelte Nullstelle ist immer gleichzeitig ein Extremum der Funktion. Ob es sich dabei um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt, kann man nicht allgemein sagen. Auf jeden Fall ändert sich das Vorzeichen des Funktionswertes bei einer doppelten Nullstelle nicht. Der Graph kommt entweder von unten an die x-Achse heran, berührt sie kurz und geht wieder nach unten weg oder er kommt von oben an die x-Achse heran, berührt sie und geht nach oben wieder weg. Bei einer einfachen Nullstelle schneidet die Funktion dagegen die x-Achse. Der Graph kommt von oben an die x-Achse heran, schneidet sie und geht dann unterhalb der x-Achse weiter bzw. kommt umgekehrt von unten und geht dann nach oben. Es liegt somit bei einer einfachen Nullstelle immer ein Vorzeichenwechsel von vor.
Zusammenhang von _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_148.png)
und _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_147.png)
:
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_313.png)
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Betrachte jetzt noch einmal die gegebenen Graphen! Welche kommen noch in Frage?
Hier noch einmal die Abbildung aus der Angabe:
_und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_302.png)
Nur der grüne und der blaue Graph haben bei einen Terrassenpunkt und bei ein Extremum. Das erkennt man leicht an der Abbildung. Daher können die anderen beiden Graphen, also der in Schwarz und der in Lila gezeichnete Graph, keinesfalls den Graphen einer Stammfunktion zu darstellen. Jetzt ist nur noch die Frage, ob der grüne oder der blaue Graph richtig ist. Das lässt sich mit Hilfe des Monotonieverhaltens von herausfinden. Wenn _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_146.png)
eine Stammfunktion zu _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_317.png)
ist, gilt:
_und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_317.png)
ist streng monoton fallend, wenn _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_152.png)
negativ ist.
ist streng monoton steigend, wenn positiv ist.
Wir müssen uns also die Vorzeichen von , d.h. die Vorzeichen von überlegen. Der vordere Teil _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_321.png)
ist niemals negativ wegen der geraden Potenz. Das Vorzeichen hängt somit nur von der hinteren Klammer _und_einfache_Integrationsregeln/Integrationsregeln_321.png)
ab.
Für _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_322.png)
wird und somit auch der gesamte Ausdruck _und_einfache_Integrationsregeln/Stammfunktion_323.png)
negativ. Für ist also negativ und fällt in diesem Bereich.
Wenn wir nun die Abbildung aus der Angabe betrachten, wird sofort klar, dass nur der grüne Graph in Frage kommt, nicht aber der blaue. (Weil der grüne Graph für fällt, aber der blaue hier steigt.)
Damit ist die Aufgabe gelöst:Der grüne Graph ist der Graph einer Stammfunktion zu .
In der folgenden Abbildung kannst du die Graphen von und in einem gemeinsamen Koordinatensystem sehen.
